度量空间的GH极限探索 | 专访ICM2022受邀报告人刘钢校友
发文时间：2021-12-02 撰稿人：杨成浪 楚健春
编者按：四年一届的国际数学家大会（International Congress of Mathematicians，ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的全球性数学学术会议。会议旨在促进高水平的学术交流，在开幕式上将颁发“菲尔兹奖”等世界著名的数学大奖。会议期间，将有世界各地从事国际数学前沿研究的著名数学家报告他们所在领域的重大科研成果。ICM报告人身份是极高的学术荣誉，是一个数学家的工作获得国际学术界认可和关注的重要标志。
2022年7月，第29届国际数学家大会将在俄罗斯圣彼得堡举行。今秋，2022年圣彼得堡国际数学家大会官网上公布了本届报告人名单，5位北京大学数学学科教师：鄂维南、朱小华、章志飞、董彬、刘毅受邀成为报告人，其中鄂维南院士将作一小时报告。另有8位北大校友将作45分钟报告，他们分别是：丁剑、李驰、刘钢、汪璐、王国祯、徐宙利、周鑫、朱歆文。
2015年刘钢在加州大学伯克利分校
刘钢，2005年本科毕业于南京邮电大学（电子信息科学与技术专业），2005年至2008年就读于122cc太阳集成游戏，获硕士学位，2013年获美国明尼苏达大学博士学位。随后2013年至2016年任加州大学伯克利分校Morrey Visiting Assistant Professor，2016年至2019年任美国西北大学Assistant Professor，2019年入职华东师范大学任教授。曾获美国国家自然科学基金资助，2017年获斯隆研究奖。刘钢老师的主要研究方向是微分几何。代表工作包括：非负全纯双截曲率的Kähler流形上多项式增长全纯函数有限生成，非负Ricci曲率三维流形的分类等。
Q：请简要介绍一下您的主要研究方向和将在ICM报告的内容。
A：我的主要研究方向是微分几何和复几何。我比较关注Kähler流形的Gromov-Hausdorff极限，以及单值化猜想等相关问题。我的ICM报告主要关于Kähler流形Gromov-Hausdorff极限对复几何的应用，包括我在单值化猜想及其相关问题的一些工作，一些非紧Kähler流形紧致化结果，以及具有Ricci曲率下界的非塌缩Kähler流形Gromov-Hausdorff极限一些结果。
Q：可以分享一下您曾经解决过的一些问题的经历，特别是灵感来源吗？
A：大约10年前，我当时是明尼苏达的一个博士生。有一天，导师王嘉平教授让我讲Schoen-Yau一篇关于非紧三维流形正Ricci曲率的论文。他们论文的核心是在流形拓扑不平凡的时候，造出一个稳定的极小超曲面，然后利用第二变分公式导出矛盾。当时的论文遗留了一个问题，就是假设非负Ricci曲率的情形。他们的方法仍然可以应用，但是造出了这个曲面之后，得不出任何矛盾，只能够得出那个曲面的法向方向Ricci曲率均为0。后来我阅读了M. Anderson的工作，他的思路是把这个极小曲面往一个方向平移，但是因为技术性原因，需要假设曲率有界。Shi在同一时期，也假设了曲率有界条件，因为他考虑了Ricci流。后来我了解到之前一个结果是：一个流形，如果Ricci曲率非负，且一点Ric大于0，那么度量可以形变到处处Ricci大于0。所以，本质上只需要处理Ricci曲率处处有零点的情形。我一开始的思路也是考虑直接把极小曲面挪动，但是不理想。后来发现，之前形变度量的方法仍然可以用，只不过在形变之后，Ricci曲率在一些地方已经变成负的了。我继续按照Schoen-Yau的方法造极小曲面。这个时候，他们的结论不再成立，因为可能一些地方Ric曲率是负数。本来这是一个坏的地方，但是我发现，这个坏的地方大小可以控制，然后正的区域还可以任意大。这说明，在扰动以后的度量下，Schoen-Yau构造的曲面一定要经过负的部分(这个部分区域可控)， 再通过极限的方法，就可以使得稳定极小曲面过流形上任意指定的一点(原来的度量下)。而根据Schoen-Yau, 这些曲面都是全测地的。因而我对研究这个问题有了很大的信心。后来又经过了一段时间，我完全把这些曲面的位置关系弄清楚了，从而解决了非负Ricci曲率的情形。
后来导师建议我研究单值化猜想。之前已经有了许多工作，但是我查看之后发现自己取得突破的可能不大，所以暂时搁置了。后来，在考虑一个全纯函数的Liouville问题时，我用了Li-Wang的一个比较定理，得到了一个非常简短的证明。后来发现，这个思路可以推广一下，得到Kähler流形上的一个三环定理。
刘钢老师注：以上的三环定理，在处理单值化猜想一系列问题中起到了关键的作用
证明非常简单，但是结论是未曾想到的。由这个结果，直接可以推出具有非负双截曲率条件下多项式增长全纯函数的最佳维数估计，这给了之前Ni, Chen-Zhu等人一个著名结果的新证明。但是多项式增长有限生成问题还是没有解决，也没有思路。有一次，我注意到，Cheeger-Colding-Tian里面的Hessian L2估计似乎和之前Ni的极大值原理有一些联系，准确地讲，似乎可以造成一些psh函数。这意味着流形的切锥具有一些正性(准确地讲，在靠近切锥的时候)。这可能意味着一些好的全纯结构。所幸的是，有之前发现的三环定理作为辅助，那些造出来的全纯函数可以方便地拉回到原来的空间上。由此，我解决了Ni提出的一个重要猜想: 即多项式增长全纯函数存在性和流形体积增长的关系。以这个为基础，在前面的思路上继续挖掘，最终，我发现，多项式增长全纯函数环变成了一个仿射代数簇的仿射坐标环, 这就解决了这个环的有限生成性。也证明了在体积欧式增长条件下，具有非负双截曲率的非紧凯勒流形是一个仿射代数簇。
Q：您是如何对这些问题产生兴趣的呢？
A：这些问题都是导师介绍和前期阅读一些文献的时候发现的，我发现它们叙述简单，而且结果优美，所以产生了兴趣。
明尼苏达大学外景（图片来源于网络）
Q：您的很多工作是独立完成的，可以分享一些您遇到障碍的时候怎么处理的经验吗？
A：遇到障碍的时候，如果是我不是很熟的地方，我会积极地查找各种资料。之前也遇到一个坑，我需要一个结果，但是那个方向我不是很熟悉。后来在arxiv上看到一篇较新的论文，结果正是我想要的(而且比我要的结果还强不少)。当时很开心，后来咨询一些专家，但是他们也没有给出那篇论文的具体评价。隐隐约约地，我总感觉arxiv那个结果有点过分强了。后来自己去看看证明，果然发现了大漏洞。险些就引用错误论文。也有时候是死路卡住了，不知道怎么办，这个时候是比较痛苦的。有时候会先放一放，看看其他的，回头再想。努力尝试新的思路。
Q：是什么原因促使了您从电子信息专业转考数学系研究生呢？
A：也是比较机缘巧合吧。可能还是和我父亲潜移默化的影响有关系。我的父亲是中学数学老师，他虽然没有特别让我学数学，但还是让我对数学比较有兴趣吧。大学的时候我会在图书馆自己看一些书，觉得比较有趣，就想考个研试试。当然我也花了很长时间准备，最后运气也比较好。
Q：您当时本科自学全靠自己选择，都看了什么方面的数学书呢？
A：我记得是实变函数，一开始讲集合论，可以比较一些无穷大，就比较有趣。发现自己也能够学懂，然后我就往后看了。2005年时北大研究生笔试设置得很全面，但专业课可以自己选三门，后来复试的时候我又再补了一些其它知识。
Q：可以谈谈您硕士期间在北大的学习生活吗？
A：在北大期间我主要还是学习一些课程，因为本科非数学专业，所以基础掌握得不牢靠。
2020年8月，刘钢老师为数学中心短期课程在线授课
Q：当时您出国是怎么准备托福考试的呢？
A：主要还是一种氛围。当时我们寝室，隔壁寝室的同学，很多人都在一起准备，大家一起讨论讨论，时间很快就过去了。
Q：您博士期间在国外的环境和之前在国内的环境有什么异同吗？
A：明尼苏达大学招的中国学生特别多。区别的话，感觉就是独立性强一些，比如自己一个人租房子，可以晚上工作到很晚。其他的差别不是很大。
Q：可以谈谈您的博士经历吗？
A：我一开始大概花了一年多学了一些课程，先通过了qualify。之后我又花了一年多时间自学了一些可能会有用的东西。我当时对系里面的老师都比较熟悉了，在博士第二年第一学期确定的导师，王嘉平教授。他治学严谨，对学生很严格。我一开始想做一些模仿性的工作，他就劝我少做，鼓励我做一些重要的，尚无固定模式的问题。
Q：有什么建议想对您现在的学生，或者师弟师妹们说的吗？
A：我觉得还是要多学点比较深的东西，即使现在不一定能用得上。懂的知识比较多，就可以从很多方面去考虑问题，就能比别人看到的多。当然也不能泛化，要有重点。其实数学这个东西，不同的人有不同的经验，不能一概而论，所以我也不能一言堂，误导大家。当然做数学肯定要有耐力。好好加油，未来的数学属于你们。
Q：您曾分别在加州大学伯克利分校和西北大学任教，可以谈谈您在国外的工作经验吗？有什么心得体会呢？
A：一点体会就是国外老师学生之间讨论问题很自由，学生敢于质疑挑战，大胆表达自己的想法。一次课上，我讲错了一个小点(口误), 马上就有学生很直白地指正。
Q：在国外的教学经验对您现在有什么影响呢？
A：鼓励学生上课的时候表达自己的想法，哪怕是错误的。
Q：请问您是怎么协调做研究、教学工作和生活的呢？
A：大部分时间还是用来做研究和教学。
Q：您觉得近些年我们中国人在数学上的实力有明显的进步吗？
A：这个确实是。因为在我2008年出国时，中国年轻人在数学界名声很高的没有像现在那么多，现在这一代，像今年ICM这么多中国人，我觉得这确实是实至名归，大家确实是做得很好，各个方向都有。我觉得中国人做数学，有天分又勤奋的人很多。现在条件越来越好了，我想以后中国人也会更加自信，说不定我们中国人不久就会有本土培养的人才获得Fields奖。
