寻找极小曲面的Morse理论 | 专访ICM2022受邀报告人周鑫校友
发文时间：2022-01-13 撰稿人：季策、王志超
编者按：四年一届的国际数学家大会（International Congress of Mathematicians，ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的全球性数学学术会议。会议旨在促进高水平的学术交流，在开幕式上将颁发“菲尔兹奖”等世界著名的数学大奖。会议期间，将有世界各地从事国际数学前沿研究的著名数学家报告他们所在领域的重大科研成果。ICM报告人身份是极高的学术荣誉，是一个数学家的工作获得国际学术界认可和关注的重要标志。2022年7月，第29届国际数学家大会将在俄罗斯圣彼得堡举行。今秋，2022年圣彼得堡国际数学家大会官网上公布了本届报告人名单，5位北京大学数学学科教师：鄂维南、朱小华、章志飞、董彬、刘毅受邀成为报告人，其中鄂维南院士将作一小时报告。另有8位北大校友将作45分钟报告，他们分别是：丁剑、李驰、刘钢、汪璐、王国祯、徐宙利、周鑫、朱歆文。
周鑫老师在办公室
周鑫，2006年获清华大学理学学士学位，2008年在122cc太阳集成游戏获理学硕士学位，2013年获斯坦福大学博士学位。曾在伯克利美国数学所进行博士后研究工作，曾任美国加州大学圣巴巴拉分校助理教授，现任康奈尔大学副教授。2019年获斯隆研究奖。
Morse理论与极小曲面的隐喻
Q：首先恭喜周老师受邀在明年的ICM上做45分钟报告！可否简要介绍您计划在明年ICM上报告的工作？
A：受邀在ICM上进行报告对我来说也是一个惊喜（笑）。我想我受到邀请主要是因为我在超曲面变分理论上的工作。
对三维流形中的曲面，大家一般会关心它的面积，而平均曲率则与曲面的面积高度相关。我此前工作的主线就是构造一些具有预定平均曲率的曲面。如果预定的函数为0值函数，那么对应的曲面就是极小曲面，也就是我们日常生活中常见的肥皂膜。当曲率为非零常值的情况，就是常平均曲率曲面。后面我们也自然地推广上述问题，考虑如何构造以一般函数为预定平均曲率的曲面。从极小曲面、常平均曲率（CMC）曲面到预定平均曲率（PMC）曲面的一系列构造工作，想法都来源于Almgren发展的min-max理论。
这个过程中我很偶然地发现了这些构造可能会对重数1猜想的解决产生帮助。一个早期的线索是，在非零值的常平均曲率曲面中，它们对应的微分方程的非齐次性导致额外的重数不可能出现。不过当时我还是不太相信这个问题可以完全解决。直到后来在一次偶然的尝试中，我发现，对典则度量（generic）情形，如果考虑用特殊的非常值预定曲率(PMC)曲面逼近极小曲面，重数为1是有可能正确的。
图示：极小曲面的一个例子
还有一些基于CMC曲面构造的后续工作，比如找到具有预定拓扑的CMC曲面，以及关于极小曲面在空间中分布的性质。我最主要汇报的还是CMC曲面的构造及其在重数1猜想中的应用。
Q：可否具体介绍一下重数1猜想呢？
A：我们不妨先考虑低维的情况。如果我们希望在一个闭球面上找到一条闭测地线，最简单的想法是能否找到一条长度处处最短的线。但因为球面没有拓扑，在球面上放一个橡胶圈（rubber band），它可以很自然地收缩到一点。由此在二维球面上求闭测地线不是一个平凡的问题，这个问题由Poincare提出，由Birkhoff在20世纪初给出了完整的数学证明：需要考虑一族可以自由收缩的橡胶圈。从球面的一点（如北极）出发，覆盖整个球面，直到覆盖南极点。由于这一族橡胶圈不能收缩到一点，那么其中应该会有一条是局部最短的，也就是测地线。
图示：橡胶圈覆盖球面
极小曲面的问题是上述问题在三维的自然推广：对一个三维球面，我们如果要选取其上二维的面积最小的曲面，也会遇到同样的问题：曲面会缩到一点。类似于上面的方法，我们可以寻找一个覆盖三维球面的单参数的曲面族，让它从北极出发一路覆盖到南极点。基本的想法是其中每一个曲面都要缩小自己的面积，但整体的曲面族无法缩到一点，这样就可以找到期望的极小曲面。因为这个想法是先选取曲面族中最大的面积，再对所有的极大值取下确界，所以这个方法被形象地称为min-max方法。基于这样的想法，美国数学家Almgren从上世纪60年代到80年代利用几何测度论的工具，最终证明了这样的构造可以帮助我们得到三维球面上的弱意义下的极小曲面，而他的学生Pitts则进一步证明了这种构造的正则性，即解是光滑的。2012年，Marques-Neves开创性地使用了Almgren-Pitts发展的min-max理论，证明了Willmore猜想，进而促进了min-max理论的飞速发展。Almgren-Pitts理论自然可以对k-参数曲面族做min-max构造（见下文），但注意到几何测度论构造出来的解，永远是带有整数系数（重数）的光滑曲面，这就意味着我们在k-参数曲面族中构造的极小曲面，可能仅仅是单参数(或者小于k-参数)曲面族构造的极小曲面乘以一个整数（将极小曲面视为方程组的解），因而不会得到新的极小曲面。然而如果我们可以证明k参数曲面族构造的解都是重数1，那么我们就可以说明这些新构造的解本质上都是全新的，而不是既有理论的解的整数倍。由此Marques-Neves提出了重数1猜想，认为这些k参数族构造的极小曲面在generic情形都是重数1的。
图示：极小极大点
Q：如何意识到CMC曲面的构造会对重数1猜想的解决产生帮助？
A：这个发现是非常偶然的。之前我在关心一个比重数1猜想弱一点的问题：加权Morse指标的估计问题。在Morse理论中，我们总可以将函数在足够好的坐标下整理成一个二次型，该二次型的特征值的正负在变分问题中会对应于函数值增大/减小的方向，只有在负特征值对应的方向上，流才可以向极小值运动。所以负特征值的个数被称为Morse指标，它是很多数学分支关心的对象。一个极小曲面对应的二次型是无穷维希尔伯特空间中的二次型。作为下方有界上方无界的二次型，它只有有限多个负特征值，这些负特征值刻画的是非稳定的方向。在早期大家会关心指标为0的情形，完成了很多重要工作，如正质量猜想的证明。自然大家会考虑有限指标的情形。
我研究的极小极大（min-max）理论就是一种Morse理论。Morse理论的基本结论告诉我们，Morse指标会对应于同调群的维数。这种临界点和拓扑性质之间的“隐喻”（metaphor）在极小曲面的研究中也有类比。Marques-Neves就给出了如下的结果：由极小极大理论构造的极小曲面如果重数为1，则对k-参数超曲面族，构造出的极小超曲面是具有指标k的。我当时期望做的是能否将极小曲面的重数作为一个系数乘在上面，这是比重数1猜想弱很多的结论。我花了很多时间考虑这个问题，但最终很幸运地发现这个问题帮助我得到了重数1猜想的证明。
周鑫老师在办公室
Q：可否介绍极小极大理论是如何产生的？重数1猜想在其中为何重要？
A：极小极大理论有两方面的动机，一方面是之前提到的Poincare-Birkhoff问题在三维的自然推广，另一方面也期望在任意的闭流形中构造极小子流形。从上世纪50年代末开始，Almgren创造性地结合了测地线理论和代数拓扑的想法，证明了闭流形中所有m-维闭子流形空间具有良好的拓扑结构。从该结构出发，我们可以期望得到临界点的信息。之后经过两代人的努力，直到八十年代，数学家终于得到了三维闭流形中一定存在（一个）闭极小曲面的证明。此后该理论因为太繁复而不再热门。2012年，Marques-Neves对Willmore猜想的证明使得Almgren-Pitts理论重新焕发生机。他们还在2013年建立了Gromov在1988年提出k-参数超曲面族和Almgren-Pitts理论的联系，从而为极小超曲面在几何中的重要应用提供了理论框架。对应于非平凡的k-参数超曲面族，我们可以定义被称为面积谱的min-max临界值。Almgren-Pitts理论告诉我们这些临界值都由极小超曲面的面积实现。
极小极大理论目标是，从很弱的拓扑出发建立完善的Morse理论，求出临界点（也就是极小曲面）的信息。我们可以考虑拓扑的分层行为。第一层的拓扑和极小曲面的关系在80年代就为数学家熟知，但更高层拓扑求得的极小曲面解可能仅仅是第一层的解的重数倍，因为这我们并没有得到本质上全新的解。Marques-Neves在2013年证明了在一定几何条件下三维闭流形上有无穷多极小曲面，但是这些无穷多的极小曲面是否有我们所期望的“第k层拓扑的Morse指标一定是k”性质，我们哪怕在五年前也是一无所知。最重要的困难在于这些解的重数可能大于1，那么它会退化到第一层的解，而如果每个解的重数都是1，那我们就可以相信这些解确实是本质不同的解。基于重数1猜想和Marques-Neves的工作，我们现在在典则的情形下不仅可以解决长期未决的著名猜想，更可以进一步地对这无穷多个极小曲面按它们的Morse指标进行分层。
更主动地学习交流
Q：在本科和研究生的学习中，您是如何从物理背景转向数学，并在后面北大硕士研究生期间选择了极小极大理论作为自己的研究方向？
A：我本科是在清华数理基科班学习。当时没有特别明确的方向，只是基科班比较符合我希望从事科学理论研究的想法，就尝试着报名，也比较幸运地被录取。在后面物理和数学课程的学习中，我意识到自己还是比较倾向于数学更加严谨的思维方式，于是选择了数学方向，并在来到北大时选择跟随田刚老师，正式成为数学专业的研究生。当时选择微分几何是希望能研究相对具体可感的数学对象。
进入极小极大理论则是出于偶然。在北大学习期间，田老师曾经有一个问题与庞加莱猜想的证明以及极小极大理论相关，他建议我学习极小极大理论的相关内容。当时我做了一点推广，但并没有沿着这个方向继续。后来在博士期间我转向做了一些和广义相对论相关的内容，也没有找到特别吸引我的问题。后来在和博士导师Richard M. Schoen的交流中，他认为极小极大理论中Pitts的工作还有可以完善的地方，尤其是Morse指标的概念非常不明晰，希望我更好地理解这个事情，这成为了我回到极小极大理论研究的一个动机。另一个动机是在我博士高年级的时候，由于Marques-Neves证明了Willmore猜想，极小极大理论也再次引起了数学界的重视。
周鑫老师2021年夏天在康奈尔大学附近的Ithaca Fall留影
Q：您在中美两国的顶尖高校都有较长时间的学习科研经历，在您的观察中，中美高校的学生有哪些特点值得相互学习借鉴？
A：我在国内的学习时间比较久，也有很多很令人怀念的学习体验。比如国内的同学都很热情，大家都在努力地学习数学，可以相互交流，相互促进；而在国外因为招生规模的限制，可以交流的同龄人会少很多，相对会感到孤单一些。另一方面国内的研究生相比美国研究生，助教等任务会更轻松一些，可以更纯粹地将精力用在学习和研究上。
而在美国的顶尖高校，我观察发现，最优秀的学生对学术资源的利用能力很值得我们学习。美国顶尖高校确实有非常丰富的学术资源：有最优秀的数学家，最前沿的问题等等。那些成熟的学生可以通过和最活跃的数学家的交流快速地学到一些新知识和新想法。当然现在国内在各个方向都有最前沿的数学学者，所以希望国内的学生也能更主动地和老师们交流。
Q：您对年轻学生有哪些建议？
A：就像刚才所说的，不论在国内还是美国，还是要尽量和知名学者多交流，了解到最前沿的课题在哪里。而一旦选择了某个方向，就要把这个方向的核心文献完全地读懂。在遇到困难时可以和身边的同龄人相互帮助，一起学习，在相互的交流中更好地评估和检验自己是否真的理解。一个很典型的体验是：学习某个文献，即使把全文都背下来，也不意味着你真正地掌握了文献中的方法。所以好的方法是自己先读懂，然后主动地和同龄人交流，讲给他们听，在反馈中了解自己认识的深度。
北京国际数学研究中心办公院落外景
