编者按：简单的衣着，随手拿起一只粉笔，就是一节精彩纷呈的代数课堂，带领无数学子见证数学之美。他让艰深的代数变得清晰流畅，他曾任122cc太阳集成游戏副院长、122cc太阳集成游戏会理事长、博士生导师，他曾获得教育部自然科学一等奖、教育部青年教师奖、杰出青年基金，他是2023年北京大学“教学成就奖”获得者柳彬。
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期中季刚过，深秋的校园里黄叶纷飞，理教302，此刻是线性代数（B）的课堂。教师柳彬走上讲台，随手将课本放在讲台上，扫视了一圈教室：“过了个期中考试，我看教室里已经空出了一些座位。估计有些同学选择了退课。”教室里发出一阵会心的笑声。笑声刚停，柳彬接上：“我们还是继续来讲授课内容。期中前的最后一次课，讲的是可逆矩阵，我估计大家已经忘得差不多了。我们现在来回忆一下。”随即开始了板书。
教室左右两块黑板，左边列下大纲，右边书写详细的证明，像一幅演绎着代数奥秘的画卷，伴随着柳彬抑扬顿挫的讲述中徐徐展开。偶尔对上同学们迷茫的眼神，他便会放慢讲课的节奏，带着大家再次梳理重难点。一堂线性代数课下来，黑板擦了又擦，但书写的内容却清晰、连贯地印在了每位同学的脑海中。
一支粉笔，一面黑板，无需参照课本和讲义——这，是柳彬从教三十年生涯中一节最普通的代数课。
01 黑板、粉笔和数学课的灵魂
1990年，刚刚博士研究生毕业的柳彬做出了一个决定，他要继续留在北大的校园里，正式成为122cc太阳集成游戏的一名老师。在北大的三尺讲台上，他这一站，就是三十年。
三十年来，柳彬执教的课程既包括本科生的常微分方程、高等数学、线性代数，也包括研究生的常微分方程定性理论和常微分方程选讲等。尽管学生们的水平不尽相同，但对柳彬课堂的评价却几乎是“一边倒”的好评——清晰、舒服、流畅……
“柳老师讲课节奏感特别好，很清晰。这学期预选课时，好像有450人选了柳老师的课，但只有150个名额，能选上感觉也很幸运。”物理学院2023级本科生屈尘骓笑着说。
娓娓道来一个引人入胜的“数学故事”，课下少不了充足的准备。每周四小时的线性代数课，他总会花至少三个小时的时间精心备课，确保对要讲授的内容足够熟稔。
“不看书”式的上课风格传承自柳彬研究生时的导师——122cc太阳集成游戏丁同仁教授。丁老师既在学业、科研上给予了柳彬莫大的帮助，也对柳彬的教学方式产生了深刻影响。他曾告诉柳彬：“在为本科生上课时一定不许看书。可以抄一些例题，但讲授主要内容时，绝不可捧着书本或讲义照本宣科。”
三十年来，柳彬始终如一地严格遵守着这一原则。每节课，柳彬在黑板上一笔一划写下无数定理和证明，把逻辑推理的每一环都清晰地展示给学生们。
“毕竟数学不仅是由一堆理论构成的，我们要让学生知道数学的理论，更要让学生理解这些理论的由来，以及所有的严谨推理的过程。”
122cc太阳集成游戏2022级博士生马艺铭曾是柳彬线性代数的课程助教之一。在他看来，板书其实是数学课的灵魂所在。“特别是低年级的数学课。它能够让大家的思考慢下来。如果是单纯的抄书，很多思考的细节是呈现不出来的。像线性代数这样的课，有不少很微妙的地方，如果没有自己亲手动笔算过一遍，就很容易踩到各种坑里，这种时候就特别需要有经验的老师，带着大家亲自在黑板上演算。”
“让思考慢下来”，这件听起来很简单的事情，却成了大学课堂上难得一见的风景。许多时候，大学的知识传递效率令无数刚刚离开中学的同学们望而却步，学生们被引导着进行独立自主的学习探索，但有时有心无力。柳彬的课堂某种意义上扮演了引导低年级本科生适应大学节奏的角色——以纯手写的板书为桥，将学生“引渡”到一方引人入胜的数学天地。
“很多学生第一次学习高等的数学课程，并不知道如何理解和运用抽象的数学概念，很容易听着听着就听不懂了。一个小概念没理解透彻，就会逐渐滚雪球一样积累更多的问题。”马艺铭说。
但是柳彬从不曾轻视这些“小问题”。除了定理的证明，柳彬还会亲自演算许多例题，把对细节的理解和强调都蕴含在了一次次完整的推导和计算中。偶尔也会在演算中出错，柳彬会笑着打趣自己：“大家的算术水平肯定比我厉害。”
122cc太阳集成游戏2020级博士生孙伟舰回忆起自己第一次担任习题课助教的情形：“柳老师告诉我们，‘尽量少讲一点’，因为他知道很多研究生当助教时都会习惯性地补充很多东西。”他更加注重课程内的东西，希望助教们上习题课时带领大家复习一下课程的内容，如果可能的话，还希望同学们自己上黑板来写一写。立足基础、稳扎稳打，在柳彬的教学里是一种一以贯之的理念。
谈及这种教学风格的形成，柳彬回忆起一件往事：读博士期间，有一次丁同仁教授出去开会，让柳彬代讲两次课。讲完之后，现场的学生们似乎都没有什么问题；但导师回来后，发现同学们并没有很好地理解柳彬讲授的内容。
丁老师一语点醒了柳彬：“你不能够认为同学已经跟你会的一样多了，你一定要假设他会的没有那么多。”出身教师家庭的柳彬，也曾从父亲那里得到过类似的提示，“我父亲说的甚至更加直白：‘你一定要假设他们什么都不会，你如果能够把它讲明白了，你的课就讲好了。’ ”
导师和父亲的经验之谈，柳彬始终放在心里。他在讲台上迎来送走一批又一批青年学子，始终待以饱满的热情和耐心。或许正因如此，从柳彬的常微分定性理论课堂中走来的孙伟舰毫不犹豫地选择了担任柳彬的课程助教。带着和柳老师一样“上好这门课”的想法，他除了尽职尽责地完成助教份内的工作，还会主动引导大家分析思考作业中的难题，和其他助教一起认真筹备每一次习题课的内容……
如果说知识是一条河流，为人师者，就是这样一瓢一瓢地将河水舀出，付与学生。周复一周，一笔一划。
02 走向数学之美的引路人
柳彬执教的数学课，既有数院专业课程，也有面向全校学生开设的数学基础课。教学改革之后，基础课里汇集了来自全校理工、经管等不同专业背景的学生，这对教学提出了很大的挑战——面对数学基础和需求不一的学生，授课老师需要尽可能地在其中做出平衡。柳彬的办法，就是时刻关注讲台下的那一双双眼睛——学生们究竟是已然理解还是心存困惑，都写在了他们看向老师、看向黑板时的眼神中。柳彬便会时刻根据眼神的反馈调整授课进度，时而高歌猛进，时而娓娓道来。
一个班的成绩总会有高低之分，但在柳彬眼里，课程成绩所反映的，与其说是个人能力，倒不如说是对数学的重视程度。有的学生是出于自身知识结构的需要来学习数学，而有的学生可能只是出于培养方案需求。
当然，也有一些同学迫切地希望学好数学，却困惑于不知道怎样才能实现，“他们会说，‘不是我不喜欢数学了，是数学不喜欢我了。’”柳彬笑着说，他觉得这其实缘于学习方法不当，因此他非常看重引导学生们从学习方法和习惯上做出改变。他会时常提醒学生，大学课堂不似中学，不会再有老师带领大家反复做练习。面对复杂的知识网络，大家必须利用课下时间主动地复习、巩固，“四个小时的数学课，再聪明的人也要花四个小时左右来复习、做作业，否则很难学好。”
这些叮嘱，柳彬也会讲给学生家长们听。“只要有考试，就会有高分的和得分没那么高的，甚至会有不及格的。有的孩子考试成绩不理想，心理落差很大。有的同学很适合大学的思维方式，所以从中学到大学转变很快；但有的同学需要经过一段时间的摸索才能适应这种方式。”在数院的新生家长会上，柳彬曾告诉家长们要关注学生们进入大学后的心理状态，比如第一学期的期中考试和期末考试后，如果有一些不太好的苗头，一定要多多关心，不能过于苛责。
“只要持续地在学习的路上走下去，到了大学毕业的时候，都一定会有所收获。”
柳彬温和而坚定的声音，不知曾鼓舞多少在数学题海中浮沉不定的学子。他身上似乎有一种细水长流的气质。一位学生回忆起柳老师曾经的分享，说：“柳老师课上会讲一些自己的成长的经历和对数学的理解，他想要传递一种不焦虑、踏实做事的心态。他想强调的是，一定要多花时间去思考，不要浮躁。”
除了鼓励与肯定，每周五下午，他也会留出固定的时间为学生们答疑，在课堂上，他不止一次地告诉学生们：“老师讲完课了，你有任何问题都可以来问。”若遇上学生向他提出非常值得探讨的问题，即便多年过去，柳彬回忆起依然会不自觉地流露出赞赏的笑容，那些思维碰撞的火花就从这一节节课堂飞出，或许在未来的某一天，就会成为数学殿堂里奔腾驰骋的燎原之火。
在新学期的第一堂线性代数课上，柳彬给学生们讲起代数发展的历史。漫漫文明长河中，数学的发展有时源于对实际问题的研究，有时则依赖于人们对纯数学最朴素的求知欲，正如人们对一元N次方程的兴趣催生了群论的发展。
“这是一门优美的学科，吸引了无数人前赴后继为之奉献出毕生的精力。”
柳彬带领无数学子在他的课堂上见证这种纯粹的优美，正是一位位像他一样的教师，为学生们打开了数学的大门。
03 “三个苹果”的背后
从2008 年起，柳彬开始担任元培学院本科生导师，交流的内容涵盖思想品德、学习方法、人生目标等各个方面。对这群踌躇满志的年轻人，柳彬会耐心倾听他们在学习、生活方面的各种问题，然后循循善诱，给出自己的建议。
“有的同学社交能力非常好，有的同学有领导组织能力，那他可以考虑成为公务员；反过来，如果他坐不住冷板凳，他就不适合做科研，也不适合当老师。”
无论学生们做出何种选择，他从不会抬高或贬低，在与后辈的交流中，柳彬从来都是带着平和与包容的心态，引导大家认清自己的兴趣和特长。
早些认清内心，便能更早地开始为之付出努力。在柳彬看来，北大是一个如此包容的地方，它既给了热爱学术、醉心科研的学子们一片沃土，也尊重其他志在四方的少年。而越早认准努力的方向，就越能充分利用北大提供的平台充实自己、提高自己。
柳彬参加元培学院毕业典礼
对于热爱数学的学生，柳彬建议他们在本科期间认真学好基础课——掌握好这套“数学语言”日后才能去做更具探索性的研究。有了基础，还需要“学会提出问题，理解科研的体系”。有时，柳彬会给同学们讲起自己做科研的经历。柳彬的研究方向是常微分方程（微分方程定性理论）、KAM理论及其在非线性振动中的应用，几十年来的钻研之旅，困难多，成功少。“有时灵机一动，就能把困难解决掉；但绝大多数时候，你灵机两动都没有用。”
面对数学探索的未知性，保有一颗平常心显得如此可贵，对于柳彬而言，他的解决方法是“做不出来的时候就放下，或许在将来某一天，你看到了什么，想到了什么，这个问题就能迎刃而解”。
学术道路之外，柳彬也鼓励想从事社会工作的学生可以参加更多的学工和社团，想要进入企业的同学尽早去实习……每个人在广阔天地间朝着自己的目标努力。
努力应是因人而异的，而不该只是在分数上计较得失。每年期中期末，柳彬见到了太多因为一两分耿耿于怀的学生，他期待着大家踏实努力地去学习，却从不建议大家一味地“卷”绩点：“现在的学生对绩点的追求，似乎已经到了一种偏执的程度。”绩点当然很重要，但是，就像生命中许许多多的东西一样，绩点也不过是求学岁月中的“匆匆过客”。“到40岁，你恐怕已经忘了当年绩点是多少了。”
相比成绩单上的数字，教育所培养起的思维习惯或许更为重要。有一段时间，互联网上有一种说法：有三只苹果曾经深刻影响了人类社会的发展，一只是被亚当和夏娃吃掉的，一只是落在牛顿头上的，还有一只是苹果公司的logo。
“但是，亚当和夏娃毕竟只是传说；现在就说苹果公司改变世界，未免为时尚早；而牛顿在万有引力研究中的杰出贡献，追根究底，是他艰苦工作的成果，是大量的数学演算和严谨推理的成果。”
在一堂微积分课程上，柳彬专门讲起了这个故事。接着，他便向同学们介绍了万有引力背后的数学计算。这堂课，讲的不仅仅是微积分，还有柳彬对同学们培养独立思考的能力、科学求真的作风的期盼。作为一位数学老师，柳彬看重的不仅仅是学生们有没有掌握某一个定理，他更由衷的期盼是，“通过我的讲述，不仅能了解数学是怎么一回事，还能培养出逻辑思维能力、推理能力，知道不能随意地下结论。”
一门数学课毕竟是短暂的，一个学期、一个学年甚至大学生活，在人生中也不过白驹过隙。但教育中曾播下的种子，蕴力无限。
“作为北大的学生，应该能够为这个社会做一点贡献，这是最应该有的一个追求。”从北大研究生，到一名广受爱戴、躬亲育人的数学教师，柳彬也身体力行地践行着他对北大学子的殷切寄语。
来源：北京大学融媒体中心、北京大学教务长办公室
视频：北京大学教务长办公室、北京大学党委宣传部
文字：祝晨旭、刘文欣、王钰琳
图片：李香花、受访者提供
